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Base matemática de la música

Base matemática de la música.

Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más “adecuado”.

En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.

No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal “dodecafonismo”.

Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma “encaja” mucho mejor que si es 465/422...

Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).

¿Cómo dividimos las “distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.

El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.

Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:

Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f

Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:

(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053

Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:

Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre

Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do

Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 ² se aproxima bastante bien a 1,125.

Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.

En la siguiente imagen pueden comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:

Escala temperada

Shree (india)

Hirajoshi (Japón)

Diatónica o pitagórica

         PACO RENTERÍA……………

Escrito por el 29/12/2006 21:16 | Comentarios (1)